已知：如图，⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE=∠OED

2025-06-28 05:23:03

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回答1：

连接OA并延长交BC于点F，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的外心，
∵AB=AC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在Rt△AOD与Rt△AOE中，

∠BAF=∠CAF

AD=AE

∠ADO=∠AEO

，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE，
∴OD=OE，
∴△ODE是等腰三角形，
∴∠ODE=∠OED．

回答2：

解：连接OA并延长交BC于点F，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的外心，
∵AB=AC

∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在Rt△AOD与Rt△AOE中，∠BAF＝∠CAF 、AD＝AE 、∠ADO＝∠AEO ，

∴Rt△AOD≌Rt△AOE

∴OD=OE，
∴△ODE是等腰三角形，
∴∠ODE=∠OED．
【分析】连接OA并延长交BC于点F，根据三角形外心的性质可知AF是BC的垂直平分线，由于AB=AC，故∠BAF=∠CAF，OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，可得出Rt△AOD≌Rt△AOE，进而可得出结论．