已知a,b,c是不全相等的整数，求证2(a^3+b^3+c^3)>(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(a+b)

因为a,b,c不等,而且求证的式子每个变量完全平衡，
可分两种情况讨论。
1，a > b ≥ c
a,b,c满足下列式子：
(a^2-b^2)(a-b)>0
(a^2-c^2)(a-c)>0
(b^2-c^2)(b-c)≥0

三个式子左右相加可得：
(a^2-b^2)(a-b)+(a^2-c^2)(a-c)+(b^2-c^2)(b-c)>0
把式子展开，然后变形可得：
2(a^3+b^3+c^3)>(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(a+b)

2, a ≥ b > c
(a^2-b^2)(a-b)≥0
(a^2-c^2)(a-c)>0
(b^2-c^2)(b-c)>0

三个式子左右相加可得：
(a^2-b^2)(a-b)+(a^2-c^2)(a-c)+(b^2-c^2)(b-c)>0
把式子展开，然后变形可得：
2(a^3+b^3+c^3)>(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(a+b)

综上所述，如果a,b,c为不全等整数，那么2(a^3+b^3+c^3)>(a^2)(b+c)+(b^2)(a+c)+(c^2)(a+b)成立。

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关于不全等，我开始也想了一下。
最后我觉得它是说，最多有两个数字相等，不能全部相等。

ab+a+b+1>=4*(a*b*a*b*1)^1/4
等号当且仅当a=b=1时成立
ab+ac+bc+c*c>=4*(ab*ac*bc*c*c)^1/4
等号当且仅当a=b=c时成立

(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)>=16abc
等号当且仅当a=b=c=1时成立
由于a b c是不全相等的正数,
所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c*c)大于16abc

或者：
原式=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
a+1>=2根号a 当且仅当a=1时取等号
b+1>=2根号b 当且仅当b=1时取等号
a+c>=2根号ac 当且仅当a=c时取等号
b+c>=2根号bc 当且仅当b=c时取等号
又因为a和b不同时等于1
abc都不相等
所以上面4项至多有一项取等号 且取等号的项>1
所以原式>2根号a*2根号b2根号ac*2根号bc=16abc