如图所示，已知△ABC中，AD为高，且AB+CD=AC+BD,求证：AB=AC

直角三角形定律得到：
AB^=AD^+BD^ （ ^ 是平方符号） （式子1）
AC^=AD^+CD^ （式子2）
式子1和式子2可以得到：AB^+CD^=AC^+BD^ （式子3）

已知：
AB+CD=AC+BD （式子4）
式子3和式子4得到：AB*CD=AC*BD （式子5）
接下来就是换算一样了~
式子4和式子5得到：
AB-DB=AC-CD
CD=AC+BD-AB
BD=AB+CD-AC
AB*（AC+BD-AB）=AC*（AB+CD-AC）
AB*AC+AB*BD-AB*AB=AC*AB+AC*CD-AC*AC （两边的AB*AC和AC*AB划去）
AB*BD-AB*AB=AC*CD-AC*AC
AB*（BD-AB）=AC*（CD-AC） （AB-BD=AC-CD代入）
AB=AC

证明：

延长BC到E，使CE=AB，
延长CB到F，使BF=AC，
∵AB+CD=AC+BD，∴DE=DF，
∵AD⊥BC，∴AD垂直平分EF，∴AE=AF，
∴ΔBAF≌ΔCEA(SSS)，
∴∠ABF=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB(等角的补角相等)，
∴AB=AC。

证明：∵三角形ABD和ACD是直角三角形，
∴AB2-BD2=AC2-CD2①，
又由AB+CD=AC+BD得：
AB-BD=AC-CD②，
由①②得：
AB+BD=AC+CD③，
联立公式②③得：
AB=AC．

∵△ABC中，AD为高
∴△ABD和△ACD是Rt△
∴AD²=AB²-BD²=AC²-DC²
∴ (AB+BD)(AB-BD)=(AC+DC)(AC-DC)
∵AB+CD=AC+BD
∴AB-BD=AC-CD················①
∴AB+BD=AC+CD··············②
由①+②得：
2AB=2AC
∴AB=AC