85问答库 > 已知满足曲线y=x^2在点(n,n^2)处的切线方程为x⼀an-y⼀bn=1，an，bn均为数列，

已知满足曲线y=x^2在点(n,n^2)处的切线方程为x⼀an-y⼀bn=1，an，bn均为数列，

2025-06-29 09:01:50

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回答1：

1.
y'=2x
曲线在点(n，n²)处的切线方程为y-n²=2n·(x-n)
整理，得x/(n/2) -y/n²=1
又x/an-y/bn=1
an=n/2，bn=n²
数列{an}的通项公式为an=n/2，数列{bn}的通项公式为bn=n²
2.
dn=1/(an+bn)=1/(n/2 +n²)=2/[n(2n+1)]=4/(2n) -4/(2n+1)
d1+d2+...+dn
=4/2-4/3+4/4-4/5+...+4/(2n)-4/(2n+1)
=[4/2+4/4+...+4/(2n)]-[4/3+4/5+...+4/(2n+1)]
<[4/2+4/4+...+4/(2n)]-[4/4+4/6+...+4/(2n+2)]
=4/2 -4/(2n+2)
=2- 2/(n+1)
2/(n+1)>0，2- 2/(n+1)<2
d1+d2+...+dn<2