已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm,则此三角形的面积为？

1.
第三边=√30²-10²+√20²-10²=20√2+10√3
即
面积=1/2×10×（20√2+10√3）=5（20√2+10√3）
2.
第三边=√（30²-10²）-√（20²-10²）=20√2-10√3

面积=1/2×10×（20√2-10√3）=5（20√2-10√3）

过20cm和30cm的公共顶点A作AH垂直BC于H，因AH=10，AB=20，AC=30，得：AH=10√3，BH=20√2，则BC=20√2±10√3，则S=(1/2)×AH×BC=50(2√2±√3)

先用勾股定理求出第三边长。
设三角形ABC中，AB = 20, AC = 30, BC边上的高AD = 10，则
在直角三角形ADB中，由于sin角B = AD/AB = 1/2，且
BD = sqrt (AB^2 - AD^2) = 10sqrt(3)，
CD = sqrt (AC^2 - CD^2) = 10sqrt(8)，
BC = BD + CD = 10 (sqrt(3) + sqrt(8))
于是三角形面积
S = 1/2 AB BC sin(B) = 10*10*(sqrt(3) + sqrt(8))*1/2 = 50(sqrt(3) + 2sqrt(2)).

解题过程见图片。