A^2-B=A(I-A^{-1}BA^{-1})A合同于I-A^{-1}BA^{-1}, 看后者的特征值即可
假设 λ 为A的特征值，
因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．
即 （λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，
得 （λ-1）（λ2+2λ+3）=0．
解得，λ=1，λ＝
−2±
4−12
2
＝−1±2
2
i．
因为A为实对称矩阵，其特征只能为实数，所以：λ=1＞0．
对非零列向量x
Bx 是一个列向量
则 (Bx)'(Bx) >= 0 [这里要求B是实矩阵--线性代数默认]
这是内积的非负性(一个性质),原因:设 Bx =(a1,...,an)'
则 (Bx)'(Bx) = a1^2+...+an^2 >=0.
所以 x' (A-B^2)x
= x'Ax + x'B'Bx [ B' = -B]
= x'Ax + (Bx)'(Bx) [ A正定,x'Ax>0]
>0
所以 A-B^2也为正定矩阵
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