我首先问楼主，为什么1+1=2，而不等于3，也许你会说这是公理规定的，没错。那我再问你什么是加法，减法，乘法，除法？这些问题公理上有说吗？公理只是告诉了你1+1=2而却没有告诉你什么是加法。而是从天而降一个“加法”这个概念。是一个看不见摸不着的东西，那么你为什会认为这些数字的运算是有道理的呢？
答案是因为我们在日常生活中天天都在用，一个苹果和一个苹果放在一起就成了两个苹果。
这就是1+1=2，这就是加法的来源，这个道理已经成为一种常识在你的骨髓中，在你从小到大的生活经验中这种运算从来没有出现过错误。所以你从来都不会对数字的加减乘除感到不自然，也就在学习数学的时候不会对加法这个实际上完全没有定义的东西感到怀疑。
实际上数学的加法等运算法则都是人类经历了上千年的实践以后抽象出来的。
同理为什么会有向量的加乘法则呢？那是物理学家在对大自然现象进行研究时发现的规律，速度，位移，力等等的物理量都具有大小方向作用点，他们之间可以合成，而这种合成是很特殊的，以类似平行四边形的规律进行。于是又经历相当长的岁月当一代代物理学家在利用向量这个工具解释自然获得巨大的成功后，数学家将向量这个概念进行了更为系统的抽象，发现其本质性的东西于是就有了现在的向量运算。
数字的运算和向量的运算都是在人类千百年的与大自然搏斗的实践中总结出来的道理。他们都是正确有用的，为什么呢：如果没有他们，就不可能有现在的文明，我们每天都在感受着其正确性。
同时对于数学家来说，数字的加法和向量的加法其实都不代表加法的本质，通过抽象，我们可以说数字的加法和向量的加法是一回事，只是定义不同。如果想要了解加法的本质，那就要学习《抽象代数》
总之我的论点是不管是数字的加法还是向量的加法他们都是定义出来，是根据“加法”这一更加本质的概念加上一些具体的条件而演化出来的。
数学的发展是考物理来进行的，真是因为物理需要描述自然才会有向量，微积分等等概念的产生，而数学家在进一步抽象形成一门有一门的学科。所以所谓严密的逻辑推理只不过是一种为了高度概括而产生的类似事后诸葛亮的行为。任何数学都是在向大自然学习中产生的。 如果不像自然学习，而光光只是在那做逻辑上的推演，是不可能诞生许多伟大的数学思想的，那些逻辑只是为了说服别人相信自己而采用的工具。
请问整数的加法是不是“定义”出来的？
要真的从数学上明确定义“加法”和“乘法”，必须用到群论。
从一般的角度来讲，任何一个理论体系的公理，定义都是不能证明的。比如欧几里得几何“两点之间有且仅有一条直线”，甚至“直线”和“圆”的存在在欧式几何里都是必须先假定其存在而不能证明其存在的。
平面向量理论在数学上是可以从一套公理体系导出的，在数学上来说是自洽的。因此作为一种数学理论，它是正确的。至于他是否能描述我们这个世界，这是物理学家的事。而你也知道它能很好的描述低速的经典物理，那它就是有用的。
数学家找到所有可能的宇宙，而物理学家则是寻找我们这个宇宙的规律。
今天正好听到一句名言。
“几何学是不真实的，但它是有用的”------亨利 庞加莱（被称为数学史上最后一个通才，即通晓所在时代所有数学的最后一人）
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