已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +3bx+c（b≠0）是奇函数。（1）求a，c的值；（2）求函数f（x）的单调区

2025-06-26 13:20:38

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回答1：

解：（1）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，g（-x）=-g（x），即f（-x）- 2=-f（x）+2
又f（x）=x³ +ax² +3bx+c，
所以-x³ +ax² -3bx+c-2=-x³ -ax² -3bx-c+2
所以

解得a=0，c=2。
（2）由（1）得f（x）=x³ +3bx+2
所以f′（x）=3x² +3b（b≠0）
当b＜0时，由f′（x）=0得x=±

x变化时，f′（x）的变化情况如下表：

所以，当b＜0时，函数f （x）在（-∞，-

）上单调递增，在（-

，

）上单调递减，
在（

，+∞）上单调递增
当b＞0时，f′（x）＞0
所以函数f （x）在（-∞，+∞）上单调递增。