f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)为奇函数则A:f(x)为奇函数B:f(x)为偶函数Cf(x)=f(x+2)Df(x+3)是奇函数，

答案是D。
解：用反证法 设f(x)为奇函数 则与f(x+1)与f(x-1)都是奇函数矛盾设f(x)为偶函数 则与f(x+1)与f(x-1)都是奇函数矛盾故f(x)既不是偶函数也不是奇函数
由此可知A、B错误！
根据题意f(x+1)=-f(-x+1) 即 -f(x)=f(-x+2) -f(-x)=f(x+2)f(x-1)=-f(-x-1) -f(x)=f(-x-2) -f(-x)=f(x-2)由此得到 f(x+2)=f(x-2) 即f(x)=f(x+4),故C错！所以函数是以4为周期的周期函数由于 f(x-1)是奇函数，可以得知 f(x+3)也是奇函数所以答案应该是D！

若f(x+1)与f(x-1)为奇函数,
f(x+1)=-f(-(x+1));f(x-1)=-f(-(x-1))
A.
设y=x+1,
f(y)=f(x+1)=-f(-(x+1))=-f(-x)
f(x)为奇函数
D.
f(x+1)为奇函数,
设y=x+2,
f(x+3)=f(y+1)=-f(-(y+1))=-f(-(x+3))
f(x+3)是奇函数

f(x+1)为奇函数证明f(x+1)关于（0,0）对称
那么f(x)就关于（1,0）对称（将f(x)向左平移一个单位就得到f(x+1)）
同理f(x-1）为奇函数，证明f（x)还关于（-1,0）对称
所以f(x)为周期函数，且周期为4（若函数有两个对称中心（a,0)(b,0),则函数为周期函数，且T=2|a-b|)

由已知不能得到f(x)关于原点或y轴对称，所以AB错
f(x)最小正周期为4 所以f(x)=f(x+4) C错
f(x-1)=f(x+3） 故D正确

选D

令g(x)=f(x+l),h(x)=f(x-1)则
g(-x)=f(-x+1)=-f(x+1)……a
h(-x)=f(-x-1)=-f(x-1)……b
由a可知道f(-x)=-f(x+2)……c
由b可知道f(-x)=-f(x-2)……d
由c,d可知道f(x+2)=f(x-2)
故f(x)=f(x+4)
因此f(x+1)=f(x+3)
又f(x+1)是奇函数，所以f(x+3)也是奇函数

D 好像做过