第五题伯努利不等式的一般形式如何证明啊？

2025-06-28 09:01:13

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回答1：

当n=1时，左边=1+x1，右边=1+x1，左边≥右边成立。
设n=k时左边≥右边，即
(1+x1)(1+x2)...(1+xk)≥1+x1+x2+...+xk
两边乘以1+xk+1，因xk+1>-1，1+xk+1>0，不等号方向不变，所以
(1+x1)(1+x2)...(1+xk+1)≥(1+x1+x2+...+xk)(1+xk+1)
右边=(1+x1+x2+...+xk)+xk+1*(1+x1+x2+...+xk)
=(1+x1+x2+...+xk+xk+1)+xk+1*(x1+x2+...+xk)
而x1,x2,...,xk,xk+1均同号，xk+1*(x1+x2+...+xk)≥0
所以右边≥1+x1+x2+...+xk+xk+1
此即(1+x1)(1+x2)...(1+xk+1)≥1+x1+x2+...+xk+1
由数学归纳法得对任意正整数n，左边≥右边成立。等号取得条件是n=1。

回答2：

伯努利不等式证明如下: