数学 （m,n）关于直线 Ax+By+C=0 的对称点的坐标是？

设对称点坐标是（a，b）

1. 当A=0,B≠0时，对称直线的斜率为0，两点连线段的所在直线斜率不存在，即a=m。

   并且两点连线段的中点（（m+a）/2，（n+b）/2）在直线上By+C=0上。

   ∴  B（n+b）/2 + C=0, 即 b = -2C/B - n. 

   此时对称点是（m，-2C/B - n）

2. 当A≠0,B=0时，对称直线的斜率不存在，两点连线段的所在直线斜率为0，即b=n。

   并且两点连线段的中点（（m+a）/2，（n+b）/2）在直线上Ax+C=0上。

   ∴  A（m+a）/2 + C=0, 即 a = -2C/A - n. 

   此时对称点是（-2C/A - n，n）

3. 当A=0,B=0情况不存在,因为 Ax+By+C=0是直线，所以A^2+B^2+C^2≠0,即A和B不能同时为0。

4. 当A≠0,B≠0时，对称直线的斜率为-A/B,两点连线段的所在直线斜率为B/A，即（b-n）/(a-m) = B/A  ①。

   并且两点连线段的中点（（m+a）/2，（n+b）/2）在直线上Ax+By+C=0上。

        ∴  A（m+a）/2 + B（n+b）/2 + C=0  ②.

        联立①②式，（用代入消元法）解出a，b得出对称点（ （mB^2/A-Am-2Bn-2C）/(A+B^2/A),  B/A(（mB^2/A-Am-2Bn-2C）/(A+B^2/A) - m) +n）。

本题的知识点有下面4个：

1. 对称点与已知点连线段被直线垂直平分。
   

2. 中点坐标公式。

3. 两直线互相垂直，他们之间的斜率关系。

4. 分情况讨论解题。
   

这个点与已知点连线段被直线垂直平分。

有这个特性。两点连线段的所在直线斜率与已知直线斜率有了。。有个已知点 那这个直接方程就得到了。
两个直线方程联立，求公共点。这个公共点就是两对称点的对称中心。。（上述线段的中点）
根据中点的坐标计算公式，就可以求到 对称点的坐标了