已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实数．（1）当a=-1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，e]上是

2025-06-26 20:48:56

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回答1：

（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+

，
令f′（x）=-1+

=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+

，由x∈（0，e]，得

∈[

，+∞) ，
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+

≥0在（0，e]上恒成立，所以a ≥-

在（0，e]上恒成立，
由

∈[

，+∞) ，知 -

∈(-∞，-

] ，即 -

≤-

所以当a ≥-

时，a ≥-

恒成立，
故所求a的取值范围为：a ≥-

（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=

lnx

，则g′（x）=

1-lnx

x 2

当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=

，
从而g（x） ≤

，又

＜1 ，所以方程|f（x）|=

1nx

无实数解．