一道数学竞赛题

我觉得不会有什么特别舒服的解法，本质上是因为目标函数1/(x+y)+1/(x+z)+1/(y+z)是在给定区域{(x,y,z)|xy+xz+yz=1, x≥0, y≥0, z≥0}的边界上取得最小值的，所以不能利用对称性来求解，也就没有什么基本不等式可以利用了。以下是我的解法，不知道是不是和你的标准答案一样。

[谢谢LYK的指正，我似乎把问题想复杂了]

用x、y表示z，代入所求式子，得到原式
=1/(x+y)+(x+y)/(1+x^2)+(x+y)/(1+y^2) ①

令a=x+y，b=xy，则容易验证，问题转化为证明关于a、b的不等式
1/a+a(2+a^2-2b)/(a^2+(1-b)^2)≥5/2

其中a、b满足条件{(a,b)|1≥b≥0, a>0, a^2≥4b}。为此，展开两边，化为关于a、b的多项式不等式（按b的降幂排列）：
(a^2-7/2*a+1) b^2-(2a^2-5a+2)b+(a^4-5/2*a^3+2a^2-3/2*a+1)≥0

将上式左端看作b的二次函数(*)，得到对称轴
1+(2a)/(2a^2-7a+2)

于是当2a^2-7a+2>0时，(*)的对称轴在1的右边，从而当b取最大可能值时，(*)取最小值。令c=(7+√33)/4，则当a>c时，b的最大可能值是1，而当a<1/c时，b的最大可能值是a^2/4。对前者，相应的x、y满足条件xy=1；对后者，相应的x、y满足x=y。代回①，目标函数化成
1/(x+1/x)+1/x+x 或 1/2x+4x/(1+x^2)

对前一种情况，因为x+1/x=a>c>2，所以
1/(x+1/x)+1/x+x>1/2+2=5/2

所以在这种情况下成立严格不等号。而在后一种情况下，x=a/2<1/2c<1，所以
1/2x+4x/(1+x^2)-5/2=(1-x)[(1-2x)^2+x^2]/2x(1+x^2)>0

总之，当2a^2-7a+2>0时，成立更强的严格不等式。

当2a^2-7a+2<0时，相应的(*)在边界处取最小值，即：当c≥a≥1时，(*)在b=0或1时取最小值；而当1≥a≥1/c时，(*)在b=0或a^2/4时取最小值。代入之后容易发现，当(a, b)=(2, 1)或(1, 0)时，(*)有最小值0，且可以达到。

最后当2a^2-7a+2=0，即a=c或1/c时，(*)变成
-2ab+...

是b的减函数，在b取最大可能值时，(*)有最小值。于是和第一种情况一样讨论可知，此时成立严格不等式。

由题意.ax=by=cz=1
即a=1/x.b=1/y.c=1/z.
所以:1/1+a^4=1/1+(1/x)^4=x^4/x^4+1.
所以(1/1+a^4)+(1/1+x^4)=(x^4/x^4+1)+(1/1+x^4)=1
同理(1/1+b^4)+(1/1+y^4)=1.
(1/1+c^4)+(1/1+z^4)=1.
所以1/1+a^4+1/1+b^4+1/1+c^4+1/1+x^4+1/1+y^4+1/1+z^4=3

a=1/x.b=1/y.c=1/z.
1/1+a^4=1/1+(1/x)^4=x^4/x^4+1.
(1/1+a^4)+(1/1+x^4)=(x^4/x^4+1)+(1/1+x^4)=1
1/1+a^4+1/1+b^4+1/1+c^4+1/1+x^4+1/1+y^4+1/1+z^4=3

a=1/x,b=1/y,c=1/z
所以1／(1+a^4)+1/(1+x^4)=1/(1+1/x^4)+1/(1+x^4)=x^4/(1+x^4)+1/(1+x^4)=1
其他四项两两一组，也可以求出来的
所以最后是
3

a=1/x.b=1/y.c=1/z.1/1+a^4=1/1+(1/x)^4=x^4/x^4+1.(1/1+a^4)+(1/1+x^4)=(x^4/x^4+1)+(1/1+x^4)=11/1+a^4+1/1+b^4+1/1+c^4+1/1+x^4+1/1+y^4+1/1+z^4=3

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