85问答库 > 已知函数y=f(x)(x∈R)且f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证：y=f(x)的图像关于直线x+m对称

已知函数y=f(x)(x∈R)且f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证：y=f(x)的图像关于直线x+m对称

2025-06-29 02:34:01

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回答1：

令F(x)=f(x+m);
则F(-x)=f(-x+m)=f(x+m)=F(x);
这说明F(x)是偶函数;偶函数关于直线x=0对称;
则:令X=x+m;则x=X-m;X相对于x移动了m。
∴F(x)=F(X-m)=f（X）.也就是说，f（X）的对称轴相对于F(x)移动了m。
∵F(x)关于直线x=0对称，
∴f(x)的图像关于直线x=m对称

回答2：

y=f(x)的图像关于直线x=m对称<=>y=f(x)在m-a和m+a两点等值=>f(m-a)=f(m+a)。
其实可以当成直接结论，并不需要证明