证明: f(x)∈C^2 [0,π], 即f(x)在 [0,π]具有二阶连续导数. 设 g(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx, g(x)在 [0,π]连续,在 (0,π)可导 g(0) = f'(0)×0+f(0)×1= f(0) g(π) =f(π)×(-1)=-f(π) 又f(0)=-f(π), 题目中应该是这个条件. g(0)=g(π) 由罗尔定理,存在ξ∈ [0,π], 使 g'(ξ) = 0 即 f''(ξ)sinξ+f'(ξ)cosξ+f'(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0 即f''(ξ)sinξ+2f'(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0,证毕.
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