已知函数 f(x)=ln(1+x)+a x ，a∈R是常数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求 a=- 1

2025-06-28 03:56:25

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回答1：

（1） f′(x)=

1+x

ax+2

(1+x)

，
若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增；若a≤-1，
则f′（x）＜0，f（x）在定义域内单调递减；若-1＜a＜0，由f′（x）=0
解得， x 1 =

2- a 2 -2

1- a 2

a 2

， x 2 =

2- a 2 +2

1- a 2

a 2

，
直接讨论f′（x）知，f（x）在 [0，

2- a 2 -2

1- a 2

a 2

)
和 (

2- a 2 +2

1- a 2

a 2

，+∞) 单调递减，
在 [

2- a 2 -2

1- a 2

a 2

，

2- a 2 +2

1- a 2

a 2

] 单调递增．
（2）观察得f（0）=0， a=-

时，
由①得f（x）在 [0，7-4

) 单调递减，
所以f（x）在 [0，7-4

) 上有且只有一个零点；
f( x 1 )=f(7-4

)＜f(0)=0 ，
计算得 f( x 2 )=f(7+4

)=ln(8+4

(2+

)＞ln e 2 -2=0 ，
f（x₁ ）f（x₂ ）＜0且f（x）在区间 [7-4

，7+4

] 单调递增，
所以f（x）在 [7-4

，7+4

] 上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f（M）＜0，f（x₂ ）f（M）＜0
且f（x）在区 (7+4

，+∞) 单调递减，
所以f（x）在 (7+4