85问答库 > 在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（I）求a

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（I）求a

2025-06-26 11:49:53

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回答1：

（I）∵S_n ² =a_n （S_n -

）（n≥2）
∴S_n ² =（S_n -S_n-1 ）（S_n -

）
∴2S_n S_n-1 =S_n-1 -S_n
∴2=

S n

S n-1

…（2分）
又a₁ =1，

S 1

=1
∴数列 {

S n

} 为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴

S n

=1+（n-1）?2=2n-1
∴S_n =

2n-1

．
∴a_n =

1，(n=1)

(2n-1)(2n-3)

，(n≥2)

…（5分）
（II）b_n =

S n

2n+1

(2n+1)(2n-1)

(

2n-1

2n+1

）
∴T_n =b₁ +b₂ +…+b_n =

[(1-

)+(

)+…+(

2n-3

2n-1

)+(

2n-1

2n+1

）]
=

(1-

2n+1

…（8分）
（III）令T（x）=

2x+1

，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n =

2n+1

(n∈ N * ) 取得最小值． T 1 =

…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^* ，都有T_n ＞

（m-8）成立，
只要T₁ ＞

（m-8）即可．
∴

＞

（m-8），解之得m＜

又∵m∈n，∴m=9．…（12分）