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已知函数 f(x)= x 3x+1 ，数列a n 满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）．（1）求数列{a n
已知函数 f(x)= x 3x+1 ，数列a n 满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N * ）．（1）求数列{a n
2025-06-26 15:09:58
推荐回答（1个）
回答1：
（1）由已知得，
a
n+1
=
a
n
3
a
n
+1
，整理得
1
a
n+1
-
1
a
n
=3
∴数列
{
1
a
n
}
是首项，公差的等差数列．
∴
1
a
n
=1+(n-1)×3=3n-2
，
故
a
n
=
1
3n-2
(n∈
N
*
)
（6分）
（2）∵
a
n
a
n+1
=
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
)
S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
=
1
1×4
+
1
4×7
+…+
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
[(1-
1
4
)+(
1
4
-
1
7
)+…+(
1
3n-2
-
1
3n+1
)]
=
1
3
(1-
1
3n+1
)=
n
3n+1
．（13分）
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