算术平均数与几何平均数等号成立证明

当且仅当a1=a2=a3=.........=an时等号成立的那个证明

2025-06-26 20:20:22

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回答1：

多于两个数的情形需要用到高等数学中导数的理论。给你两个数时的证明吧。（多于两个数可以递推。）

设两个数分别为 a ，a+b
算术平均数为 [a+(a+b)]/2=a+b/2 ；几何平均数为 √[a(a+b)]=√(a²+ab)
同时平方（a+b/2)²=a²+ab+b²/4 [√(a²+ab)]²=a²+ab
若 a≠a+b => b≠0 => b²/4>0 => 算术平均值大于几何平均值；
若 a=a+b => b=0 => b²/4=0 => 算术平均值等于几何平均值；
若算术平均值等于几何平均值 => b²/4=0 => b=0 => a=a+b =>两数相等。