1、
由an+1≤b*(an -an+1)
可以得到
an+1 /an ≤b/(b+1) 而b为正数，所以b/(b+1)<1
故an+1 /an <1
所以由达朗贝尔比值审敛法可以知道，级数an一定是收敛的
2、
显然arctanx求导得到1/(1+x²)
而显然1/(1+x²)=∑(-1)^n *x^2n
再对其积分得到
arctanx=x -x^3/3+x^5/5-x^7/7+……
于是
f(x)=(1+x²) *arctanx
=(1+x²) * (x -x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=(x -x^3/3+x^5/5-x^7/7+……) + (x^3 -x^5/3+x^7/5-x^9/7+……)
=x+ 2/3 *x^3 -2/15 *x^5 +2/35 *x^7 -2/63 *x^9+……
=x - 2∑(-1)^n /(4n²-1) * x^(2n+1)
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