在三角形abc中 cosa=4⼀5 b=5c 求sin(2a+c)的值

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答：

cosA=4/5，sinA=3/5，A为锐角。
sin2A=24/25，cos2A=7/25

根据正弦定理：b/sinB=c/sinC
b/c=sinB/sinC=5
sinB=5sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
所以：5sinC=3cosC/5+4sinC/5
所以：cosC=7sinC>0
结合：sin²C+cos²C=1解得：
sinC=√2/10，cosC=7√2/10

原式=sin(2A+C)
=sin2AcosC+cos2AsinC
=(24/25)*(7√2/10)+(7/25)*(√2/10)
=7√2/10

根据余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA=25c^2+c^2-10c^2*4/5=18c^2
a=3√2c
假设c=1，则a=3√2,b=5
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(18+25-1)/30√2=7/10*√2
因为(sinA)^2+(cosA)^2=1所以sinA=√(1-16/25)=3/5
根据正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=1/10*√2
得到sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=2sinAcosAcosC+[2(cosA)^2-1]sinC
=2*3/5*4/5*7/10*√2+(32/25-1)*1/10*√2=7/10*√2