已知:如图，O是平行四边形ABCD对角线BD的中点，EF垂直BD于点O，并分别交AD、BC于点E、F，求证：DE=BF

你的图不对吧，我自己画了一个

∵ABCD为平行四边形ABCD

∴AD∥BC

∴∠FBO=∠EDO

又∵O是BD的中点

  ∴ BO=CO

 又∵∠BOF=∠EOD

  ∴△BOF≌△EOD(A.S.A)

 ∴DE=BF

图不对，E在DA或者延长线 上，F 在BC或者延长线上，两种结果是一样的，证明方法也相同
证明直角△ODE 全等于 直角 △OBF 就可以了
平行四边形O 为BD中点， 所以有 BO=DO -------------1
AD∥BC，得到∠OBF=∠ODE --------------------2
EF垂直BD于点O,得到∠EOB=∠FOD=90° -----------------------3
由上面三个条件得到 ; 直角△ODE全等于 直角 △OBF
全等三角形对应边相等，所以DE=BF

连接AC，∵ABCD是平行四边形，
O为BD的中点，
∴AC过点O，且OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，
∴ΔAOE≌ΔCOF，
∴AE=CF，
∵AD=BC，∠A=∠C，
∴ΔADE≌ΔCBF，
∴DE=BF。

平行推比例：BE:DF=OB:OD
OB=OD
得BE=DF
得AE=CF
全等ADE与CBF得:DE=BF(SAS)