高中数学在线解答:平面向量a,b,e,满足|e|=1,ae=1,be=2,|a-b|=2则ab的最小值

坐标运算
建立适当平面直角坐标系，使得e=(1,0)
设a=(x,y),b=(m,n)
则ae=x，得x=1，be=m，得m=2
于是a=(1,y),b=(2,n)
a-b=(-1,y-n),ab=2+yn
于是1+(y-n)²=4
得(y-n)²=3
于是问题转化为(y-n)²=3，求2+yn最小值
……………………………………
高三求法：不等式法
(y-n)²=y²+n²-2yn
≥2|yn|-2yn，
于是3≥2|yn|-2yn
当yn＞0时显然成立
当yn＜0时，3≥-4yn，得yn≥-3/4，于是2+yn≥5/4，最小值为5/4
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高一求法，y-n=±√3，即y=n±√3
2+yn=2+n²±√3n
二次函数顶点坐标公式得最小值为5/4

ae=1,be=2
(a-b)e=-1
而|e|=1,|a-b|=2
所以向量a-b与e的夹角为120°
故a-b,e可以作为基底向量表示向量a和b,
设a=λ1(a-b)+μ1e,b=λ2(a-b)+μ2e
由ae=1,得：（λ1(a-b)+μ1e)*e=1
λ1*（-1）+μ1*1=1
μ1=λ1+1
由be=2,得：（λ2(a-b)+μ2e)*e=2
λ2*（-1）+μ2*1=2
μ2=λ2+2
由a-b=(λ1-λ2)(a-b)+(μ1-μ2)e
得λ1-λ2=1，μ1-μ2=0
所以:λ2=λ1-1
μ2= λ1+1
故 a=λ1(a-b)+(λ1+1)e,
b=(λ1-1)(a-b)+(λ1+1)e
于是：a*b=λ1(λ1-1)*4+λ1(λ1+1)*(-1)+(λ1+1)(λ1-1)*(-1)+(λ1+1)^2*1
=3λ1^2-3λ1+2
=3(λ1-1/2)^2+5/4
当λ1=1/2时，a*b取得最小值5/4.

平面向量a,b,e,满足|e|=1，a•e=1，b•e=2，|a-b|=2，则a•b的最小值
解：设e=(1，0)，a=(a₁，a₂)，b=(b₁，b₂)；则：
a•e=a₁×1+a₂×0=a₁=1；又a•e=|a||e|cosα=|a|cosα=1，故|a|=1/cosα；
|a|=√(a₁²+a₂²)=√(1+a₂²)=1/cosα，故a₂²=(1/cos²α)-1；
b•e=b₁×1+b₂×0=b₁=2；又b•e=|b||e|cosβ=|b|cosβ=2，故|b|=2/cosβ；
|b|=√(b₁²+b₂²)=√(4+b₂²)=2/cosβ，故b₂²=(4/cos²β)-4；
其中α是向量a与x轴正向的夹角，β是向量b与x轴正向的夹角。
a-b=(a₁-b₁，a₂-b₂)=（-1，a₂-b₂)；
|a-b|=√[(-1)²+(a₂-b₂)²]=√[1+(a₂-b₂)²]=2，故(a₂-b₂)²=3，
即有a₂²-2a₂b₂+b₂²=[(1/cos²α)-1]-2a₂b₂+[(4/cos²β)-4]=3
故2a₂b₂=(1/cos²α)+(4/cos²β)-8，
a₂b₂=(1/2)[(1/cos²α)+(4/cos²β)]-4
故a•b=a₁b₁+a₂b₂=2+(1/2)[(1/cos²α)+(4/cos²β)]-4
=(1/2)[(1/cos²α)+(4/cos²β)]-2≧(1/2)(1+4)-2=(5/2)-2=1/2.
当α=β=0时a•b获得最小值1/2.

答：|a-b|=2 故│a│^2+│b│^2-2ab=4 得到ab=（│a│^2+│b│^2-4）/2 a*e=1 b*e=2 故│a│cosα=1 │b│cosβ=2 得到│a│^2+│b│^2-4=1/cos^2α+4/cos^2β-4>=1+4-4=1 当且仅当cosα=cosβ=1成立 故ab最小值为1/2