解：设球的半径=r ,棱长=a,如图: 由对称性得:球与棱都相切于棱的中点. 棱的高=√6a/3
易得：球心和切点以及三棱锥的顶点所构成的三角形与棱和三棱锥的高及底边高的2/3构成三角形相似。所以。r/√3a/3=(a/2)/(√6a/3)
解之得：r=√2a/4
所以，S球表面积=4πr^2=4π(√2a/4)^2=πa^2/2
所以，当a=2时，S球表面积=π*2^2/2=2π (平方单位)
