如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1⼀2x눀+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点

解：

将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=1/2x^2+bx+c中，得：

 0+c=-4 

2-2b+c=0   ，

解得： b=-1 c=-4   

∴抛物线的解析式：y=1/2x^2-x-4．

令y=0,则，易得C点坐标为（4，0）

由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图,在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；

易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．

综上，AM的长为6或2．

【解答】解1将A（0，4）、B(2,0)代入抛物线y= 1 2x2+bx+c中
得 0+c=4 1 2 ×42b+c=0 
解得 b=1 c=4
∴抛物线的解析式y= 1 2x2x4 
2由题意新抛物线的解析式可表示为
y= 1 2x+m2x+m4+7 2 
即y= 1 2 x2+m1x+1 2 m2m1 2 
它的顶点坐标P1m1
由1的抛物线解析式可得C40
那么直线ABy=2x4直线ACy=x4
当点P在直线AB上时21m4=1
解得m=5 2  当点P在直线AC上时1m4=1
解得m=2 ∴当点P在△ABC内时2m5 2 
又∵m0 ∴符合条件的m的取值范围0m5 2 
3由A04、B40
得OA=OC=4且△OAC是等腰直角三角形
如图在OA上取ON=OB=2
则∠ONB=∠ACB=45°
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB
即∠ONB=∠OMB
如图在△ABN、△AM1B中
∠BAN=∠M1AB∠ABN=∠AM1B
∴△ABN∽△AM1B得AB2=AN•AM1
易得AB2=22+42=20AN=OAON=42=2
∴AM1=20÷2=10OM1=AM1OA=104=6
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN
∴OM1=OM2=6AM2=OM2OA=64=2
综上AM的长为6或2
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