证明有界点列必有收敛子列

设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内，下证{Xn}必有收敛子列

取[a,b]的中点c，则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a1，b1]

任取[a1，b1]中{Xn}的一项，设为y1

取[a1,b1]的中点c1，则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a2，b2]

任取[a2，b2]中{Xn}的一项，设为y2

照这样一直做下去，我们得到一系列区间[ak，bk]，区间长度为(b-a)/2^k→0，(k→∞)

同时得到一数列{yk}，显然{yk}是{Xn}的子列，且yk∈[ak，bk]

由闭区间套定理，存在唯一的点X∈[ak，bk]，k取全体正整数

由于：yk∈[ak，bk]，因此yk→X，(k→∞)

则{yk}是{Xn}的收敛子列。

扩展资料

柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。对于每一个确定的值X0∈I，函数项级数 ⑴ 成为常数项级数。

u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。

函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。

设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内，下证{Xn}必有收敛子列

取[a,b]的中点c，则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a1，b1]
任取[a1，b1]中{Xn}的一项，设为y1；

取[a1,b1]的中点c1，则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a2，b2]
任取[a2，b2]中{Xn}的一项，设为y2；

照这样一直做下去，我们得到一系列区间[ak，bk]，区间长度为(b-a)/2^k→0，(k→∞)
同时得到一数列{yk}，显然{yk}是{Xn}的子列，且yk∈[ak，bk]

由闭区间套定理，存在唯一的点X∈[ak，bk]，k取全体正整数
由于：yk∈[ak，bk]，因此yk→X，(k→∞)
则{yk}是{Xn}的收敛子列。

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楼上的 是点列不是数列
证明有波尔查诺定理