85问答库 > f✀✀(x)在[a,b]存在且a<c<b,试证ξ(a,b)使f(a)⼀(a-b)(a-c)+f(c)⼀(c-a)(c-b)+f(b)⼀(b-a)(b-c)=1⼀2f✀✀(ξ)

f✀✀(x)在[a,b]存在且a<c<b,试证ξ(a,b)使f(a)⼀(a-b)(a-c)+f(c)⼀(c-a)(c-b)+f(b)⼀(b-a)(b-c)=1⼀2f✀✀(ξ)

2025-06-28 07:50:03

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回答1：

由带lagrange余项的Taylor展式，存在a设M=maxf''(x) m=minf''(x) 则 (a-b)M/2=即 m=<[f''(e)(a-c) - f''(f)(b-c)]/(a-b)<=M 由导函数的介值性（达布定理）知存在ξ属于(a,b)使得
f''(ξ)=[f''(e)(a-c) - f''(f)(b-c)]/(a-b) 所以[f(a)-f(c)]/(a-c) - [f(b)-f(c)]/(b-c)=(a-b)f''(ξ)/2
整理后可得要证的式子