85问答库 > 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上

2025-06-26 09:59:30

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回答1：

（I）依照条件可知：抛物线过原点，且焦点在y轴上，设抛物线方程为x² =2py
由条件焦点为F（0，1），得抛物线方程为x² =4y …（3分）
∴把点A代入x² =4y，得t=1 …（6分）
（II）当K_AP 和K_AQ 不存在时，P或Q其中一点与A重合，一点与A平行于X轴，其中一个斜率为0，一个为无穷大，不符合题意．
设直线AP的斜率为k，AQ的斜率为-k，
则直线AP的方程为y-1=k（x-2），即y=kx-（2k-1）
联立方程：

y=kx-(2k-1)

x 2 =4y

消去y，得：x² -4kx+4（2k-1）=0 …（9分）
∵x_A x_P =4（2k-1），A（2，1）
∴x_P =4k-2
∴y_P =4k² -4k+1
同理，得x_Q =-4k-2，y_Q =4k² +4k+1…（12分）
∴ k PQ =

y Q - y P

x Q - x P

=-1 是一个与k无关的定值．…（15分）