在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =2x相交于A、B两点，（1）求证：“如果直线l过点F（3，0），

2025-06-28 08:44:02

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回答1：

解：（1）当直线l斜率存在时，
设过点F（3，0）的直线l的方程为：y=k(x-3)，
由

，①代入②得：k² x² -(2+6k² )x+9k² =0，
设直线l与抛物线y² =2x交于A(x₁ ，y₁ )，B(x₂ ，y₂ )两点，
则

，

，
∴原命题为真；
若直线l斜率不存在时，直线l与x轴垂直，
解方程组

，得A、B坐标为

，
∴

；综上命题得证；
（2）（1）的逆命题为：“若

，则直线l过点F（3，0）”，此命题为假命题，
事实上，设A

，B（2，2），则A、B两点在抛物线上且

，
但这时直线l方程为2x-3y+2=0，点F（3，0）并不在直线l上。

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =2x相交于A、B两点， （1）求证：“如果直线l过点F（3，0），