85问答库 > limf(x)=A,limg(x)=B.求证lim[f(x)*g(x)]=limf(x)*limg(x)=A*B

limf(x)=A,limg(x)=B.求证lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=A*B

2025-06-27 10:35:31

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回答1：

设f(x)=A+a,g(x)=B+b,a和b为无穷小量
则f(x)g(x)-AB=bA+aB+ab
因为a,b是无穷小量，A和B是常数，所以bA,aB,ab都是无穷小量，根据定理：有限个无穷小量之和仍是无穷小量，所以f(x)g(x)-AB是无穷小量。
故limfg存在且limf(x)g(x)=limf(x)*limg(x)=AB

回答2：

需要条件：limf(x)，limg(x)都存在。设 limf(x)=A，limg(x)=B, 则对任ε＞0, (1)存在δ1＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ1时，有|f(x)-A|

回答3：

可以用定义证明（非数学专业没必要搞的这么明白）
|fg-AB|≤|fg-fB|+|fB-AB|
运用局部有界性|f|≤M
|fg-AB|≤（M+|B|）ε