85问答库 > 设α1,α2,α3,β均为非零列向量，α1,α2,α3,线性无关且β与α1,α2,α3分别正交，试证明α1,α2,α3,β

设α1,α2,α3,β均为非零列向量，α1,α2,α3,线性无关且β与α1,α2,α3分别正交，试证明α1,α2,α3,β

2025-06-29 05:46:42

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回答1：

假设存在一组常数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4β=0
等式两边同时左乘以β^T，由正交性质，(β^T)αi=0（i=1,2,3）等式化为
k4 (β^T)β=0.又β为非零列向量，因此（β^T）β不等于0，因此k4=0，代入原等式
k1α1+k2α2+k3α3=0，又由题α1α2α3线性无关，因此k1=k2=k3=0;
即得出这一组常数必定全为0，，，k1=k2=k3=k4=0
因此α1，α2，α3，β线性无关