a>0 b>0 a+b=3 求 2⼀a + 1⼀b 最小值

2025-06-27 07:09:21

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回答1：

已知a>0，b>0，a+b=3，那么：
2/a
+
1/b
=2(a+b)/(3a)
+
(a+b)/(3b)
=(2/3)
+
2b/(3a)
+
a/(3b)
+
1/3
=1+
(1/3)*(2b/a
+
a/b)
由均值定理有：2b/a
+
a/b≥2√[(2b/a)*(a/b)]=2√2
（当且仅当2b/a=a/b即a=√2*b时等式成立）
所以当a=√2*b时，2/a
+
1/b有最小值为1+
(1/3)*2√2=1+
(2√2)/3

回答2：

解答：
先求3*（2/a
+
1/b）
则
3*(2/a
+
1/b)
=
(a+b)*(2/a
+
1/b)
=2+2b/a+a/b+1
=3+2b/a+a/b
≥3+2√2
当且仅当2b/a=a/b时等号成立
∴
3（2/a
+
1/b）的最小值是3+2√2
∴
2/a
+
1/b的最小值是（3+2√2）/3