85问答库 > 已知D： x^2+y^2<=a^2，∫∫√a^2-x^2-y^2dδ=2π, 求a

已知D： x^2+y^2<=a^2，∫∫√a^2-x^2-y^2dδ=2π, 求a

2025-06-28 01:05:13

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回答1：

∫∫√(a²-x²-y²)dσ
=∫∫ r√(a²-r²) drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→a] r√(a²-r²) dr
=2π∫[0→a] r√(a²-r²) dr
=π∫[0→a] √(a²-r²) d(r²)
=-(2π/3)(a²-r²)^(3/2) |[0→a]
=2πa³/3
则2πa³/3=2π
因此a=3^(1/3)

回答2：

解：用极坐标，2π=∫∫√a^2-x^2-y^2dδ=2π∫(0,a)r√(a^2-r^2)dr=π2a^3/3，a=3^(1/3)