抛物线y^2=4x,直线l过p(-2,0),直线与抛物线交于A、B两点。是否存在直线l,使以A、B为直径的圆过定点M

2025-06-28 15:36:36
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回答1:

在这里打数学符号很困难,楼主费心看。sqrt(X)表示X的平方根,*为乘号

过p点的直线为y=ax+2a,
将直线方程代入抛物线方程得:ay^2/4-y+2a=0, 解方程得:
y1=2/a+2*sqrt(1-2a^2)/a y2=2/a-2*sqrt(1-2a^2)/a (a^2<1/2)
代入直线方程得:x1=2/a^2+2*sqrt(1-2a^2)/a^2-2 x2=2/a^2-2*sqrt(1-2a^2)/a^2-2
圆心为( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 ) = ( 2/a^2-2, 2/a),
半径的平方为(x1-x2)(x1-x2)/4+(y1-y2)(y1-y2)/4 = 4/a^4-4/a^2-8
圆心到M点距离的平方等于(2/a^2-8)(2/a^2-8)+4/a^2 此距离等于半径,
即上两式相等,得:a^2=1/3
直线方程为:y=(x+2)/sqrt(3) 或 y=-(x+2)/sqrt(3)