85问答库 > 正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为a，求（1）侧棱与底面所成角的大小；（2）正四棱锥的体积

正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为a，求（1）侧棱与底面所成角的大小；（2）正四棱锥的体积

2025-06-27 04:27:33

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回答1：

解析：
连结AC.BD交于点O，连结PO
则由正棱锥性质可知PO是正四棱锥P-ABCD底面上的高
即PO⊥底面ABCD
所以∠PAC就是侧棱与底面所成角
已知正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为a
则在底面正方形中，对角线AC=(根号2)a
又PA=PC=a，则在△PAC中：
PA²+PC²=2a²=AC²，满足勾股定理
所以△PAC是等腰直角三角形
那么∠PAC=45°
即侧棱与底面所成角的大小为45°
又在等腰直角三角形PAC中易知PO是斜边AC的直线
则PO=AC/2=(根号2)a/2
所以正四棱锥的体积：
V=(1/3)S底面×PO
=(1/3)×a×a×(根号2)a/2
=(根号2)a³/6