如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O1，O2．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O2A=
×2 3
x=
3
2
x，
3
3
在Rt△OAO2中，(
)2+(h 2
x)2＝22，
3
3
化为h2＝16?
x2．4 3
∵S侧=3xh，
∴
=9x2h2=9x2(16?
S
x2)=12x2（12-x2）≤12(4 3
)2=432．
x2+12?x2
2
当且仅当x=
时取等号．
6
故答案为：
．
6
简单计算一下，答案如图所示
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