函数 f(x,y)=xy 在区域 x^2+y^2≤1 的最大值和最小值必在边界上,
构造拉格朗日函数 L=xy+λ(x^2+y^2-1),
L'=0, y+2λx=0,
L'=0, x+2λy=0,
L'=0, x^2+y^2=1
前两式相减,得 (x-y)(2λ-1)=0
则 x-y=0, 或λ=1/2, 由后者得 x+y=0.
最大值点 (1/√2,1/√2), (-1/√2,-1/√2), 最大值f=1/2;
最小值点 (1/√2,-1/√2), (-1/√2,1/√2), 最大值f=-1/2.
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