O,M,G分别是△ABC的外心，重心，垂心，求证：向量OH=向量OA+向量OB+向量OC

那我就只指导你求：向量AH=2向量OD。
由于O是外心，也就是△ABC的外接圆的圆心，那么BC就是这个外接圆的一条弦，又因为D是BC的中点，显然OD是垂直于BC的。又因为H为垂心，显然AH是垂直于BC的，那么OD平行于AH。
连接OA，就有△DOG相似于△AGH。
因为G是重心，那么AG=2GD，根据相似三角形的相关定理，不难推知AH=2OD。由于OD平行于AH，那么向量AH=2向量OD。

根据重心的性质：G为重心，则GA:GD=2:1。
重心是中线的交点，所以AG与BC的交点是边的中点，即D是BC中点。
因为O为外心，外心是垂直平分线的交点，而D是BC中点，所以OD⊥BC。
H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。
（下面一段是百度百科上的，已经写得很清楚了）
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
所以AH:OD=GA:GD,
又GA:GD=2:1,
所以AH:OD=2:1,
前面已证OD//AH，
所以向量AH=2向量OD。