若正数组成的数列{an}为等比数列,则数列{1gan}一定为等差数列. 求解

2025-06-28 07:28:49

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回答1：

因正数组成的数列{an}为等比数列，故an=a1q^(n-1),
故lgan=lg[a1q^(n-1)]=lga1+(n-1)lgq，记bn=lgan
则bn-b（n-1）=lga1+(n-1)lgq-{lga1+(n-2)lgq}=lgq
即{bn}是以lgq为公差的等差数列，所以得证

回答2：

证明：设正数数列{an}的公比为q,则q>0,则a(n+1)/an=1/q,（其中q为常数）
那么1ga(n+1)-lgan=lg(a(n+1)/an)=lg(1/q)为常数，
所以数列{1gan}一定为等差数列.

回答3：

等比数列an=a1q^(n-1) 1gan=1ga1q^(n-1) =1ga1+1gq^(n-1)=1ga1+(n-1)/Log10(换底q）
1gan-1gan-1=1/Log10（常数）数列{1gan}一定为等差数列