85问答库 > 证明二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)在[-b⼀2a,+∞）上是增函数

证明二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)在[-b⼀2a,+∞）上是增函数

2025-06-28 05:35:56

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回答1：

用函数单调性定义证明。
设x1、x2在[-b/2a,+∞）上且x1则f(x1)-f(x2)=ax1^2+bx1+c-ax2^2-bx2-c=a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]，因为x1所以x1+x2>-b/2a+(-b/2a)=-b/a，因为a>0，所以a(x1+x2)>-b，所以a(x1+x2)+b>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b]<0，所以二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)在[-b/2a,+∞）上是增函数

回答2：

法一：证明：因为二次函数y=ax^2+bx+c中a>0，所以，抛物线开口向上，切在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增，而其对称轴为x=-b/2a，故有f(x)在[-b/2a,+∞）上是增函数。
法二：证明：f'(x)=2ax+b,令2ax+b>0,得x>-b/2a (a>0).又f(x)在x=-b/2a上有意义，
所以f(x)[-b/2a,+∞）上是增函数.