∑_(n=1~∞)[(1⼀2)^n(n+1)1⼀n!]

2025-06-27 01:12:39

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回答1：

∑_(n=1~∞)[(1/2)^n*(n+1)*1/n!]=
∑_(n=1~∞)[(1/2)^n /n!]+∑_(n=1~∞)[(1/2)^n*1/(n-1)!]=
∑_(n=1~∞)[(1/2)^n /n!]+(1/2)∑_(n=1~∞)[(1/2)^(n-1)/(n-1)!]
知e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
∑_(n=1~∞)[(1/2)^n*(n+1)*1/n!]=
∑_(n=1~∞)[(1/2)^n /n!]+(1/2)∑_(n=1~∞)[(1/2)^(n-1)/(n-1)!]
=[e^(1/2) - 1 ] + [(1/2)e^(1/2) ]=3sqrt(e)/2 -1

∑_(n=1~∞)[(1⼀2)^n*(n+1)*1⼀n!]

∑_(n=1~∞)[(1⼀2)^n(n+1)1⼀n!]