齐桓公和齐威王

公和王都是爵位。
周封诸侯爵位为公侯伯子男五等，只有周天子才能称王。齐桓公是春秋时期的，爵位为侯爵。这里的“公”是对诸侯的尊称，无论公侯伯子男何等爵位在这里都统一称公。春秋时期周王威信尚在，只有楚、吴、越等蛮夷之国才赞号称王，中原诸侯都不敢越这雷池。到了战国时代周天子威信逐渐降低，诸侯不再臣服天子，于是相继称王。

春秋战国时代齐国国君的世系被中断过,也就是田氏代齐,从前国君姓姜,被田姓取代.齐桓公有两个,一个是姜氏齐国的齐桓公,也就是著名的春秋五霸之首姜小白.还有一个是不为人知的战国时代田氏齐国的齐桓公,名叫田午.而这个田午就是齐国第一位称王号的齐威王田婴齐的父亲.
楼主说的齐威王是齐桓公的儿子没有错.但是你只知道姜氏有桓公而不知田氏也有桓公.

齐威王是齐桓公的儿子。
齐威王原为侯爵，按理就和他父亲恒公一样，死后国内应该称威公。但是齐威王二十三年（公元前334年），魏惠王和齐威王在徐州会盟，互相承认对方为王，史称“徐州相王”。
这个“王”，周天子可是不承认的。但是战国时代谁还理他呢？

齐桓公（－前643年10月7日），姜姓，吕氏，名“小白”，春秋五霸之首，先秦五霸之一，公元前685－前643年在位，春秋时齐国第十五位国君。齐桓公是姜太公吕尚的第十二代孙，齐僖公的第三子、齐襄公之幼弟，其母为卫国人。

楼上正解