A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．故选A．
