逆变换公式的讨论

对式（6-32）的逆变换，需要说明以下几点。

（1）式（6-32）中的积分应该在至少弱收敛的意义上来理解。事实上，它在下述有约束条件的意义上也是收敛的（在L²（R）空间内）

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（2）逆变换公式（6-32）中的变换核ψ_a，b（t）与正变换公式（6-21）中的变换核

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在这里，稳定性条件式（6-33）实际上是对式（6-35）分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅氏变换存在且稳定，如一复数与它的共轭就为一对偶关系。但应注意，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶关系的合适小波也是小波分析中最基本的问题。

为了使逆变换存在，首先要求小波ψ_a，b（t）的对偶存在。或者反过来说，只有其对偶存在的小波函数才是合格的小波函数。对于连续小波变换来说，任何函数ψ（t）∈L²（R），只要它满足允许条件，那么由它产生的函数系ψ_a，b（t）就一定有对偶存在，因而可以作为合格的小波函数。

（3）逆变换公式（6-32）表明，L²（R）空间中的任何函数或任何能量有限的信号f（t），都可以用小波函数ψ_a，b（t）的线性加权和以任意精度来逼近，其加权系数就是信号对ψ（t）的连续小波变换。小波ψ（t）是L²（R）空间的一个基底，小波变换是信号在这基底上的投影。也可以把窗口傅氏变换看成是信号在某个基底上的投影，但它的基函数与小波有很大区别，图6-6示出了两种基函数之间的区别。从该图中可以看出，对于不同的频率，短时傅氏变换的基函数的包络相同，只是其中填充的振荡的频率不同；但小波变换的基函数（即小波）的包络的幅度和宽度都因频率不同而不同。正因为如此，短时傅氏变换基函数的波形是随频率而改变，而小波的波形并不随频率发生变化，仅仅是它的幅度和宽度在改变。这就是最初把小波叫做“恒定形状小波”的原因。

图6-6 短时傅氏变换与小波变换基函数波形差别

（4）当尺度参数a为正实数，即a∈R⁺，ψ（t）为实函数。由于

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所以

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对应的连续小波逆变换公式为

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这里的变换核