已知函数 f(x)=2ax+ b x +lnx ．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x= 1 2 处取得极值，求a

2025-06-26 19:27:09

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回答1：

（Ⅰ）∵f′（x）=2a-

x 2

，…（2分）
由

f′(1)=0

f′(

)=0

，…（4分）
可得

a=-

．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…（7分）
因为f′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
所以f′（x）=

2 ax 2 +x-(2a-1)

x 2

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x 2

，…（9分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
当a=0时，f′（x）=

x+1

x 2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数； …（11分）
当a＜0时，令f′（x）=0，得x₁ =-1，x₂ =

2a-1

=1-

＞1，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数； …（12分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤

．…（13分）
综上所述，a的取值范围是a∈[0，

]．…（14分）