| 解：（1）猜想：OG⊥CD；
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（3）如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，
∴ ，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD CD=BD，
∴OH=OG，
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴ ，即BD 2 =AD·DE，
∴BD 2 =AD·DE=2OG·DE= ，
又BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF 2 =4BD 2 = ①
设AC=x，则BC=x， ，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD，
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA），
∴ ，BD=FD，
∴CF=AF-AC= ，
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF 2 =BC 2 +CF 2 =x 2 + ②，
由①、②，得 ，
∴x 2 =12，解得 （舍去），
∴ ，
∴⊙O的半径长为 ，
∴S ⊙O = 。 | 
