85问答库 > 如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是CD，A 1 D 1 中点，(Ⅰ)求证：AE⊥BF；(Ⅱ)求证：BF

如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是CD，A 1 D 1 中点，(Ⅰ)求证：AE⊥BF；(Ⅱ)求证：BF

2025-06-28 09:21:45

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回答1：

(Ⅰ)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，
又FG∩BG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF。
(Ⅱ)证明：连接A₁ B，则AB₁ ⊥A₁ B，
又AB₁ ⊥A₁ F，
∴AB₁ ⊥平面A₁ BF，
∴AB₁ ⊥BF，AE⊥BF，
又AE∩AB₁ =A，
∴BF⊥平面AB₁ E。
(Ⅲ)解：存在，取CC₁ 中点P，即为所求，连接EP，C₁ D，
∴EP∥C₁ D，C₁ D∥AB₁ ，
∴EP∥AB₁ ，
∴AP

平面AB₁ E，
由(Ⅱ)知BF⊥平面AB₁ E，
∴AP⊥BF。