积分变量的符号和积分限有关吗？

积分限的x，可以看成常数，与f（t）dt无关，所以可以直接乘f（t）。
如果积分限是含x的表达式h（x），当x取值的时候都会得到h（x）的一个值，此时又是确定积分限的一个积分。所以可以将h（x）看做一个常数。
当积分外乘h（x）时，可以放在积分内部。

所谓积分得上下限就是积分变量得范围，当然和它有关了

设x≧-1, 求F(x)=∫<-1，x>(1-∣t∣)dt；
解：因为-1≦t≦x；所以 当-1≦x≦0时，t是负值，∣t∣=-t；（1-∣t∣)=1+t；
F(x)=∫<-1,x>(1+t)dt=t+(1/2)t²]<-1,x>=x+(1/2)x²-(-1+(1/2)=x+(1/2)x²+1/2；(-1≦x≦0);
当x≧0时，0≦t≦x；t是正值，∣t∣=t，这时 1-∣t∣=1-t；
F(x)=∫<0,x>(1-t)dt=t-(1/2)t²]<0,x>=x-(1/2)x²；（x≧0）

F(x) = ∫<-1, x>(1-|t|)dt = ∫<-1, x>dt - ∫<-1, x> |t|dt = x+1- ∫<-1, x> |t|dt,
当 -1≤x<0 时， t<0, |t| = -t,
F(x) = x+1+ ∫<-1, x> tdt = x+1 + x^2/2-1/2 = (1/2)x^2+x+1/2;
当 x>0 时，对于 -1≤x<0 段积分 ， t<0, |t| = -t；对于 x≥0 段积分， t>0, |t| = t .
F(x) = x+1+ ∫<-1, 0> tdt - ∫<0, x> tdt = x+1-1/2-x^2/2 = (-1/2)x^2+x+1/2.

从“t”的变化范围受制于“x”的变化来理解即可。t的变化范围为“{-1≤t≤x，x≥-1}”，∴t的变化可等价地表示为“{-1≤t≤x，-1≤x<0}”∪{-1≤t≤x，x≥0}。
∴-1≤x<0时，F(x)=∫(-1,x)(1-丨t丨)dt=∫(-1,x)(1+t)dt=(x²+1)/2+x。
x≥0时，F(x)=∫(-1,x)(1-丨t丨)dt=∫(-1,0)(1-丨t丨)dt+∫(0,x)(1-丨t丨)dt=∫(-1,0)(1+t)dt+∫(0,x)(1-t)dt=x+(1-x²)/2。
综上所述，F(x)=(x²+1)/2+x，-1≤x<0；F(x)=x+(1-x²)/2，x≥0。