85问答库 > 分部积分法求积分区间（0,1）被积函数sin（派t）×e^（-jwt）积分变量为t 求详细过程

分部积分法求积分区间（0,1）被积函数sin（派t）×e^（-jwt）积分变量为t 求详细过程

2025-06-27 10:41:18

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回答1：

　　解：设x=πt，a=-jw/π，则dt=(1/π)dx，x∈[0,π]，
　　∴∫(0,1)sin(πt)e^(-jwt)dt=(1/π)∫(0,π)sinxe^(ax)dx。
　　而∫sinxe^(ax)dx=(1/a)∫sinxd[e^(ax)]=(1/a)sinxe^(ax)-(1/a^2)∫cosxd[e^(ax)]=(1/a)sinxe^(ax)-(1/a^2)cosxe^(ax)-(1/a^2)∫sinxe^(ax)dx，
　　∴∫sinxe^(ax)dx=[(asinx-cosx)e^(ax)]/(a^2+1)+C。
　　∴∫(0,1)sin(πt)e^(-jwt)dt=(1/π)[(asinx-cosx)e^(ax)]/(a^2+1)丨(x=0,π)=(1/π)[e^(aπ)+1]/(a^2+1)。其中，a=-jw/π。供参考。