比较3的e次方和e的3次方大小

3的e次方大于e的3次方 利用函数单调性即可比较大小 比较e^3与3^e,即比较e与3^(e/3) 记f(x)=3^(x/3)-x,x≥3,f '(x)=3^( x/3-1) ln3 -1>3^( x/3-1) -1≥3^0 -1=0, ∴f(x)是増函数, ∴f(e)>f(3)=0,3^(e/3) - π >0,∴3^e>e^3

这个证明本身没有什么问题，但它没有给我们一个实际的构造方法，即，对一般情况的两个无理数α，β，我们如何判断α的β次方是不是无理数呢？

实际上，比无理数更深一点的概念是代数数和超越数。

定义：一代数数ξ乃适合方程

之根，此处，an,an-1,…,a1,a0是有理整数，若此式不可分解，且an≠0，则此ξ称为n次的代数数．若an = 1，则此ξ称为n次的代数整数．

非代数数的数称为超越数。

超越数的判断很困难，现在人们所知的超越数不多，比如常见的数e,π,Hermit第一个证明了e是超越数，Lindemann第一个证明了π是超越数。

至于其它的证明，虽然时有声称只用简单方法就证出这个结论，但正确性未经同行检验。

比如下面的证明：

两个方面需要注意：

（1）超越数的理论更艰深。人们对无理数甚多了，可是对超越数的了解现在还极少，甚至还没有入门；

（2）超越数的数的测度远远大于无理数，意思说，无理数是无穷的，可是它和超越数相比，就几乎是0个；就如同自然数是无穷的，可是与无理数相比几乎是0个一样的。换句话说：“几乎”所有数都是超越数！

我们知道了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但我们只是知道有了这样的数，但这个到底在哪儿？如何构造出来？却不是那么容易的。好在，有个 Gelfond-Schneider 定理，这个定理由AleksandrGelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。

取e=2.71,
3的e次方=19.813
e的3次方=20.086
所以的3次方大。